平方公式怎么算？掌握完全平方与平方差公式的快速计算技巧

我刚开始学平方公式的时候，总觉得它就是个简单的“乘两次”的操作，比如 $5^2$ 就是 $5 \times 5$。但后来我发现，平方公式远不止这么简单。它其实是一类代数表达式的规律总结，能帮我们快速计算和化简复杂的式子。理解平方公式，首先要明白“平方”到底是什么意思。一个数的平方，就是这个数乘以它自己，写成 $a^2 = a \times a$。这看起来很简单，但在代数中，$a$ 可能不是一个具体的数字，而是一个变量、表达式，甚至括号里的整个多项式。

当你面对 $(x+3)^2$ 这样的式子时，不能只盯着“平方”两个字就以为答案是 $x^2 + 9$，那就错了。这里就需要用到真正的平方公式了。平方公式其实是对某些常见结构的乘法结果进行了归纳，让我们不用每次都展开算一遍。掌握这些公式，就像背九九乘法表一样，能大大提高计算速度和准确率。我现在做题时，一看到两个相同括号相乘，第一反应就是“有没有现成的公式可以直接套”。

平方公式中最常见的两种类型，一个是平方差公式，另一个是完全平方公式。平方差长这样：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。它的特点是一个平方减另一个平方，结果可以分解成两个括号相乘的形式。比如 $9x^2 - 4y^2$，一眼就能看出是 $(3x)^2 - (2y)^2$，直接套公式变成 $(3x+2y)(3x-2y)$。这种结构在因式分解里特别常见，考试也爱考。

而完全平方公式有两个版本：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。这两个公式看起来像兄弟，区别只在中间项的正负号。很多人记混就是因为忽略了中间那个 $2ab$。我自己当初老是漏掉系数 2，后来我就提醒自己：“三个部分不能少——首平方、尾平方，中间加个两倍积。”现在一看到 $(x+5)^2$，脑子里自动蹦出 $x^2 + 10x + 25$，根本不用再一步步展开。

说到平方差怎么算，其实步骤非常清晰。第一步是判断原式是不是“平方减平方”的结构。比如 $16 - x^2$，明显是 $4^2 - x^2$，符合平方差的基本形态。第二步是找出 $a$ 和 $b$，这里 $a=4$，$b=x$。第三步直接套公式 $(a+b)(a-b)$，得到 $(4+x)(4-x)$。整个过程不到十秒钟，比硬着头皮去展开快多了。

再来看个稍微复杂点的例子：$25x^2 - 9y^2$。先看是不是两个平方？$25x^2 = (5x)^2$，$9y^2 = (3y)^2$，没问题。那 $a=5x$，$b=3y$，套公式就得 $(5x+3y)(5x-3y)$。你可能会问，为什么不能写成 $(25x+9y)(x-y)$？因为那样展开后根本得不到原来的式子。公式的关键在于“谁的平方”，必须还原成原始的 $a$ 和 $b$。我以前总想走捷径，结果错了一堆，现在学会了老老实实找底数，反而更稳更快。

以前我觉得公式能用就行，管它怎么来的。可后来发现，知道一个公式是怎么推出来的，反而记得更牢，用得也更灵活。就拿完全平方公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 来说，它不是天上掉下来的，而是有理有据的。我第一次自己动手推一遍的时候，才真正明白为什么中间会多出个 $2ab$。

我是这么想的：$(a+b)^2$ 不就是 $(a+b)(a+b)$ 吗？那就老老实实乘一遍。用多项式乘法展开，第一项 $a \cdot a = a^2$，然后 $a \cdot b = ab$，接着 $b \cdot a = ab$，最后 $b \cdot b = b^2$。加起来就是 $a^2 + ab + ab + b^2$，合并同类项就成了 $a^2 + 2ab + b^2$。这一趟走下来，中间那个“两倍积”再也忘不掉了。原来不是公式神秘，是我之前没走那一步。

后来老师还用图形帮我理解这个公式，特别直观。画一个边长为 $a+b$ 的大正方形，它的面积就是 $(a+b)^2$。我把这个正方形分成四块：左上角是个 $a \times a$ 的小正方形，右下角是 $b \times b$ 的小正方形，剩下两个长方形都是 $a \times b$。加起来就是 $a^2 + ab + ab + b^2$，和代数推导一模一样。那一刻我突然觉得，数学原来是能“看见”的。这种几何解释让我对公式的信任感强了很多，不再觉得它是死记硬背的东西。

现在做题时，我不会再傻乎乎地把 $(x+7)^2$ 展开成 $(x+7)(x+7)$ 再一步步乘。直接套公式，$x^2 + 2\cdot x \cdot 7 + 49 = x^2 + 14x + 49$，几秒钟搞定。这不只是省时间，关键是减少出错概率。尤其是遇到复杂一点的式子，比如 $(2x-5y)^2$，套公式就是 $(2x)^2 - 2\cdot 2x \cdot 5y + (5y)^2 = 4x^2 - 20xy + 25y^2$。要是硬乘，符号一多很容易漏负号或者算错系数。

我还发现平方公式在因式分解里特别好用。比如看到 $x^2 + 6x + 9$，我会先看首尾是不是平方数——$x^2$ 和 $9$ 都是，中间项 $6x$ 刚好是 $2\cdot x \cdot 3$，那这就是个标准的 $(x+3)^2$。这种敏感度是练出来的。有时候题目不会直接给你明显结构，比如 $4x^2 + 12x + 9$，我也会下意识拆解：$4x^2 = (2x)^2$，$9=3^2$，中间 $12x = 2\cdot 2x \cdot 3$，完美匹配，所以是 $(2x+3)^2$。掌握了这些技巧，代数运算就像拼图，找对了块，咔哒一声就对上了。

生活中其实也有平方公式的影子，只是我们平时没注意。有一次我和朋友想算一块扩建后菜地的面积，原来边长是 $x$ 米，两边各加了 3 米，变成 $(x+3)$ 米。总面积就是 $(x+3)^2$。如果我不懂公式，可能就得列个表格去算，但现在我知道可以直接写成 $x^2 + 6x + 9$。这样不仅能快速得出结果，还能看出面积增加了哪些部分：原来的 $x^2$，加上两条 $3x$ 的长条，再加上角落那个 $9$ 平方米的小方块。

还有一次做物理题，计算初速度为 $v_0$、加速度为 $a$ 的物体在时间 $t$ 内的位移，公式里出现了 $(v_0 + at)^2$。展开它的时候，我自然而然用了完全平方公式，帮助我更快整理出最终表达式。这让我意识到，平方公式不只是数学课上的工具，它是建模现实问题的基础零件。当你开始用代数描述世界，这些公式就成了你的语言。我现在看很多实际问题，第一反应不再是“怎么算”，而是“这里面藏着什么结构”。